Conjuntos-Noções básicas e exercícios resolvidos

Conheça e aprenda um pouco mais a respeito dos conjuntos matemáticos com exemplos e exercícios resolvidos passo a passo.


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Neste artigo vamos aprender um pouco a respeito de conjuntos, suas notações matemáticas e por fim vamos trazer alguns exercícios resolvidos passo a passo para o seu melhor entendimento e fixação do assunto, então mão a obra!

Introdução

A notação padrão para representação de um conjunto é dado pelos seus elementos separados por virgulas cuja delimitação e feito através do uso de chaves, abaixo temos o exemplo de um conjunto A, que é composto somente por números pares.

conjuntosA = {2, 4, 6, 8}

Pertinência: É a relação utilizada para relacionar determinado elemento ao conjunto em questão.

Símbolos utilizados para representar essa relação:
? ? Pertence ;
? ? Não pertence;

Por exemplo:
2 ? A e 7 ? A

Conjunto unitário

Acontece quando um conjunto possui somente um elemento, exemplo: B = {1}

Conjunto Vazio

É o tipo de conjunto que não possui nenhum elemento, sua representação pode se dar das seguintes formas:
{} ou ?

Importante lembrar:Que todo conjunto possui como subconjunto o conjunto vazio.

Subconjuntos

Dizemos que A é um subconjunto de B quando todos os elementos existentes em A também pertencerem ao conjunto B.

Ou seja A esta contido em B ou em outras palavras B contém A.

Exemplo:
subconjuntosA = {2, 4, 6, 8}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Assim tempos a seguinte representação:
A ? B ? A está contido B ou A é subconjunto de B
B ? A ? B contém A

Além desses dois símbolos de relacionamentos, temos outros como:
? ? Não contém;
? ? Não está contido ou não é subconjunto de;

Operações com conjuntos

• União
conjuntos-uniao A ? B ? A União B, é o conjunto formado pelos os elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos, podendo ser definida por {x, x ? A ou x ? B}
Exemplo: Qual o resultado de A ? B, tendo como conjunto A = {2, 4, 6} e B = {1, 2, 3, 4, 5}

A ? B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

• Interseção
intersecao-conjuntosDiferentemente do que acontece na união, onde o conjunto é formado pelos elementos pertencentes ao menos a um dos conjuntos, na interseção o conjunto A ? B é composto por elementos que pertencem tanto ao conjunto A e B., podendo ser definida por {x, x ? A e x ? B}.

Exemplo: Qual o resultado de A ? B, sendo A = {2, 4, 6} e B = {1, 2, 3, 4, 5}

A ? B = {2, 4}

• Diferença
diferenca-conjuntosA – B = {x, x ? A e x ? B}, ou seja, é a diferença de dois conjuntos A e B formado pelos elementos existentes em A que não estão em B.

Exemplo: Qual o resultado de A – B, sendo A = {2, 4, 6} e B = {1, 2, 3, 4, 5}

A – B = {6};

Conjuntos numéricos

N: Conjunto dos números naturais, exemplo N={0, 1, 2, 3, …}

Z: Conjunto dos números inteiros, exemplo Z={…, -2, -1, 0, 1, 2,…}

R; Conjunto dos números reais, exemplo R={-? , +?}

Exercícios resolvidos 01

• Problema 01 – Em uma classe de 150 alunos, 80 gostam de matemática, e 30 de física, sabendo que 10 gostam de física e matemática, quanto não gostam nem de física e nem de matemática?

Solução: Neste tipo de exercício, a resolução fica mais fácil e rápida utilizando o diagrama de Veen, que são representados por círculos conforme exemplos anteriores, mas antes vale a pena descrever e encontrar algumas informações que o exercício nos fornece que é:

Total de alunos = 150
Gostam de matematica = 80
Gostam de física = 30
Gostam de física e matemática = 10

Assim temos:
exercicios-diagrama-de-venn
Como vemos no diagrama acima, fica mais fácil de entender, ou seja, desta sala 70 gostam somente de matemática, outros 20 somente de física e ainda outros 10 que gostam de ambas, realizando a soma desses três conjuntos de alunos temos o seguinte: 70+20+10 = 100

Ou seja, desse 150 alunos 100 gostam de física, de matemática ou de ambas as disciplinas, agora fazendo a seguinte conta 150 – 100, concluímos que 50 alunos não gostam nem de física nem de matemática.

Desta forma o total de alunos que não gostam nem de física e nem de matemática, é 50 !

• Problema 02 – Qual o resultado de (A-B) ? C , sendo A = {2, 4, 6}, B = {1, 2, 3, 4, 5} e C = {2, 5, 6, 7, 10}

Solução: Esse problema pode ser solucionado também utilizando o diagrama de Venn como feito no anterior, mas favos fazer de forma direta, para você pode entender.

Primeiro passo: (A-B)
Como vimos anteriormente na definição para diferença, que o resultado de A-B é a diferença de dois conjuntos A e B formado pelos elementos existentes em A que não estão em B.

Assim A – B = {6}

Segundo passo: Como já sabemos que o resultado de A-B é {6}, agora realizamos a segundo operação que é {6} ? C.

Lembrando que na interseção o conjunto A ? B é composto por elementos que pertencem tanto ao conjunto A e B, e como temos {6} ? {2, 5, 6, 7, 10} a resposta para o nosso exercício é conjunto unitário, ou seja, {6}.

É isso amigos e amigas, espero que tenham gostado e principalmente entendido, e como sempre digo e comento, o importante agora é praticar, aproveite e tente resolver sozinho esse último exemplo aplicando o diagrama de Venn. Bons estudos a todos!



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