Equações exponenciais elementares e com artificios

Aprenda resolver esse tipo de equações de forma bastante simples e prática com exercícios e exemplos resolvidos passo a passo para o seu melhor entendimento.


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Para esse artigo preparamos um breve resumo a respeito de exponenciais, que com certeza ajudar a fixar seus conhecimentos sobre o assunto, e para quem esta estudando pela primeira vez poderá ter uma boa noção inicial.

Vale lembrar que para o melhor entendimento das explicações trazidas neste artigo, é importante o estudante já possuir um bom conhecimento em matemática básica, visto que não detalhamos neste artigo algumas operações, como exponenciação, Bhaskara, mínimo múltiplo comum, raiz quadrada, entre outros.

Para facilitar a sua navegação, vamos dividir esse artigo em tópicos, basta navegar nas opções abaixo para ir direto a opção desejada.

Equações exponenciais;
Equações elementares;
Equações com artifícios;

Equações exponenciais

Quando falamos em equação exponencial, devemos lembrar sempre que nesse tipo de equação a incógnita esta colocada no expoente, sendo que ƒ(x)= ax, onde a chamamos de base e o x de expoente.

Exemplo de equação exponencial:
2x – 8 = 8

Podemos dividir as equações exponenciais em dois tipos, equações elementares e com artifícios, que serão apresentadas na sequencia.

Equações elementares

Quando podemos decompor as potências da equação em bases iguais, chamamos de equações elementares, para resolver esse tipo de problema basta decompor as potências em bases iguais, eliminar as bases e igualar os expoentes.

Exemplo 01:
2x – 8 = 4

Primeiro igualamos as bases:
2x – 8 = 22

Feito isso eliminamos as bases:
2x – 8 = 22

Assim igualamos os expoentes:
x – 8 = 2

E por fim chegamos a solução isolando x:
x = 8 + 2
x = 10

Exemplo 02:
Resolver a equação: 92x – 6 = 27-x

Neste caso a saída e decompor a equação em potências de base 3:

32(2x – 6) = 33(-x)

Ao eliminarmos as bases temos:
2(2x – 6) = 3(-x) realizando a operação de multiplicação deixamos:

4x – 12 = -3x , isolamos o “x” então:

4x + 3x = 12 => 7x = 12 , por fim temos a resposta:

x = 12/7

Equações exponenciais com artifícios

Se você estava achando fácil resolver equações exponenciais elementares, vamos dificultar um pouco a sua vida, trazendo equações onde não seja possível decompor as bases em potências iguais, e nestes casos devemos utilizar certos “artifícios” para assim poder chegar a solução desejada, apesar de serem situações mais complexas, não são difíceis, basta um pouco de atenção, força de vontade e treino para logo começar a dominar a resolução desse tipo de equação.

E para você entender melhor vamos direto a exemplos:

Exemplo 01
3x-1 + 3 x+1 = 90

Olhando a equação a cima, de inicio muitos estudantes devem pensar: “Basta igualar as bases em potência de base “3” “, no entanto se observarmos, não podemos decompormos o número 90 em fatores primos para chegar em uma potência de base 3, por isso para a resolução desse problema devemos utilizar alguns artifícios, por isso chamamos de equações exponenciais com artifícios.

Por isso é sempre importante estar “afiado” na matemática base, pois neste caso, vamos usar propriedades da exponenciação para nos ajudar.

Lembrando que:

3x-1 é igual a 3x/3

e

3 x+1 é igual a 3x . 31

Substituindo na equação temos:

3x/3 + 3x . 31 = 90

Para facilitar vamos chamar 3x de Y, dessa forma deixamos a equação da seguinte forma:
Y/3 + 3Y = 90

Assim temos:

Y + 9Y = 270 => 10Y = 270 => Y = 27

Como chamamos 3x de Y temos:

3x = 27

Agora podemos decompor o 27 em potência de base 3:

3x = 33, onde basta eliminar a base para chegarmos a solução:

x = 3

Exemplo 02
25x + 625 = 130.5x

Neste exemplo, trazemos um pouco mais de dificuldade, mas apesar de um pouco mais complexo, vamos utilizar a mesma lógica anterior, porém vamos recair em uma equação de segundo grau, onde utilizaremos Bhaskara para chegar a solução final, então mãos na massa!

Primeiro passo, tentar decompor as potências em base iguais:

52x + 625 = 130.5x

Como não podemos deixar todas as potências iguais, partimos para a utilização de artifícios, como fizemos no exemplo anterior, neste caso vamos chamar 5x de Y, desta forma temos:

Y2 + 625 = 130Y =>

Y2 – 130Y + 625 = 0

Para quem ficou na dúvida a respeito da substituição de 52x por Y2, vale lembrar que:

52x = (5x)2 e como 5x = Y então:

Y2

Voltando ao problema, agora temos uma equação de segundo grau, que podemos resolver utilizando a formula, que para quem não lembra é:
formula de baskara

Y2 – 130Y + 625 = 0

Desta forma:
? = raiz

Y = (130 +_ ?16900-2500)/2

Y = (130 +_ ?14400)/2

Y = (130 +- 120) / 2

Assim:

Y = 250/2 => Y = 125

e

Y = 10/2 => Y = 5

Lembrando que no inicio desse exemplo chamamos Y de 5x, voltando a substituição temos:

5x = 125

e

5x = 5

Agora podemos decompor as bases e potências iguais, ficando:

5x = 53

5x = 51

Eliminamos as bases, temos:

x = 3 e x = 1

Como trata-se de uma equação de segundo grau a solução para esse exercício de exponencial é: {1,3}

É isso pessoal, espero que tenham entendido, qualquer dúvida ou mais dicas para a solução desses tipos de problemas fiquem a vontade em deixar seus comentários.



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