Logaritmos definição propriedades e exemplos resolvidos

Publicado em 26 de dezembro de 2012

Dominar e conhecer a fundo o assunto é um grande diferencial para quem deseja ser aprovado nos mais concorridos e disputados vestibulares.


Os logaritmos surgiram a mais de 4 séculos atrás, e o seu inventor foi o escocês Jonh Napier, e com a invenção dos logaritmos cálculos antes muito complexos e demorados para serem resolvidos ficaram mais simples, especialmente na Astronomia.

Atualmente os logaritmos são utilizados em diversos em inúmeras áreas e setores, desde cálculos em projetos de engenharia civil a operações bancárias.

E para você que deseja aprender mais sobre o assunto, ou esta iniciando seus estudos sobre logaritmos, trazemos neste artigo um apanhado geral e bem resumido, inclusive com exercícios resolvidos que com certeza irão ajudar a fixar o assunto.

- Definição e consequências;
- Base decimal e neperiana(natural);
- Exemplos de exercícios resolvidos parte 1;
- Propriedades;
- Cologaritmo;
- Exemplos de exercícios aplicando propriedades;
- Explicações e exemplos em vídeo aula;

Logaritmos: Definição e consequências

Definição: Logaritmo de um número B, real e positivo, em uma base a, positiva e diferente da unidade, é o expoente x, ao qual se eleva a base para obter-se uma potência igual ao número B.
logBa = x

Onde:

B = Logaritmando ou antilogaritmo
a = Base
x = logaritmo

logBa = x <=> ax = B

Sendo:
B > 0 ;
a ≠ 1 ;
a > 0 ;

Para facilitar o entendimento no momento de realizar um exercício, basta lembrar dessa ilustração:
logaritmo

Consequências:
1°) loga 1 = 0

2°) loga a = 1

3°) loga an = n

4°) a logab = b

5°) loga b = loga c <=> b = c

Antilogaritmo:
ax = B <=> antiloga x = B

Logaritmo decimal e neperiano

É importante lembrar sempre que existem duas bases particulares dos logaritmos, sendo que uma é a base decimal, base 10, e a outra a base neperiana(ou natural), base e, onde e = 2,71…..

- Base decimal(base 10):
log10A ou log A

- Base neperiana ou natural(base e):
logeA ou ln A ou LA

Exercícios/exemplos parte 1

Para ajudar a fixar a teoria que foi explicada acima, vamos praticar um pouco, e para isso nada melhor que resolver alguns exercícios, e para ajudar você em seus estudos vamos resolve-los passo a passo:

- Qual o valor de log2 16 ?
Como vimos, logBa = x <=> ax = B

então:

log2 16 = x

é igual a:

2x = 16

Como você já aprendeu em equação elementar, agora basta decompor as potências em bases iguais, eliminar as bases e igualar os expoentes.

Assim temos:

2x = 24 => x = 4

- Qual o valor de log7 1 ?
Para essa situação, basta lembrar da “primeira consequência” que diz: loga 1 = 0

Ou seja, a resposta para esse exercício é 0.

Mas caso queira resolver aplicando a definição, temos:

log7 1 = x

7x = 1

Neste caso, lembramos que qualquer número elevado a zero, resulta em 1, logo x = 0

- Qual o valor da base de loga 27 = 3
Como sabemos que logBa = x <=> ax = B

Então:

a3 = 27 => a = 3

- Qual o valor de antilog23 ?

Como vimos na definição que: antiloga x = B é igual a ax = B

Logo: 23 = B ou seja, B = 8, sendo 8 a solução para esse problema.

- O logaritmo na base 10, de um número acrescido de 5, é igual a 1, calcule esse número.

log10(N+5) = 1

Aplicando as definições de logaritmos novamente temos:

N+5 = 101
N = 10 – 5;
N = 5

Propriedades dos logaritmos

Agora vamos entrar em um ponto bem importante do estudo dos logaritmos, que são as suas propriedades, pois sabendo e lembrando delas podemos resolver de forma muito mais simplificadas problemas complexos que envolvem os logaritmos.

- Logaritmo de produto
loga(b.c) = loga b + loga c

Dica: Basta lembrar que sempre que existir uma multiplicação, você pode “desmembrar” em dois logaritmos, realizando a soma de ambos.

- Logaritmo de quociente
loga b/c = logab – logac

Dica:Quando existir uma divisão, “desmembre” em dois logaritmos, realizando a subtração dos mesmo. Ou seja, para não confundir, quando existe a multiplicação “desmembra” e soma, quando existe a divisão, “desmembra” e divide.

- Logaritmo de potência
logabn = n.logab

- Logaritmo de raiz
loga n√b = logab1/n = 1/n . logab

Cologaritmo

Define-se cologaritmo de um número como o logaritmo do inverso do número em questão.

Desta forma:
colog B = log 1/B

colog B = – log B

Exemplos de exercícios aplicando propriedades

Nesta segunda parte de exercícios, vamos aplicar as propriedades dos logaritmos que aprendemos nos tópicos anteriores, e como já comentado anteriormente, é sempre muito importante buscar exercícios para resolver e treinar, somente assim você fixa todo esse conteúdo.

- Aplique as propriedades de logaritmos nos exercícios abaixo:

1) log(a5.b3)
Como sabemos que:

loga(b.c) = loga b + loga c

e

logabn = n.logab

Primeiramente aplicamos a propriedade do produto:

log(a5.b3) = log a 5 + log b 3

Agora da potência:

log a5 + log b5 = 5 log a + 3 log b

Ou seja

Solução: log(a5.b3) = 5 log a + 3 log b

2) log a4/b2
Como aprendemos na definição das propriedade que:

loga b/c = logab – logac

Então

log a4/b2 = log a4 – log b2

Aplicando a propriedade da potência, temos que:
log a4 – log b2 = 4 log a – 2 log b

ou seja

Solução: log a4/b2 = 4 log a – 2 log b

Explicações e exemplos em vídeo

E para quem ainda possui alguma dúvida ou dificuldade sobre o assunto, trazemos abaixo um vídeo com um breve resumo sobre as definições de logaritmos e a resoluções de dois exemplos passo a passo.

É isso, espero que tenham gostado, e principalmente entendido o assunto, que é de fundamental importante para provas e exames de vestibular e Enem, bons estudos a todos!





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2 Comentarios para o post: Logaritmos definição propriedades e exemplos resolvidos

  1. amo matemática e adorei as explicações!!!

  2. benedita aparecida cardeal de souza on maio 4th, 2013
  3. Bom… A explicação e o vídeo são ótimos,porém sou péssima em matemática e não me dou muito bem com ela. Poderia colocar explicações de exercícios mais complexos, pois até esta parte acho que dá para a maioria entender.

  4. Sabrina Ferreira Montenegro on outubro 3rd, 2013

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