Poliedros convexos teorema de Euler e da soma dos ângulos

Publicado em 2 de março de 2013

Conheça neste artigo um pouco mais a respeito dos poliedros convexos, como classificação e dois teoremas que ajudaram a resolver diversos exercícios a respeito do assunto.


Como de costume, gostamos de dividir nossos artigos em tópicos, que além de facilitarem o entendimento facilitam a navegação dentro da página, trazendo uma melhor experiência a todos, desta forma neste artigo você pode conferir:

- Classificação;
- Teorema de Euler com exercícios resolvidos;
- Teorema da soma dos ângulos com exercícios resolvidos;

Classificação Poliedros convexos

exemplos-poliedros-convexos-tetraedro-hexaedroA classificação dos mesmos se dá quanto ao números de faces que possuem, sendo:
- Tetraedro, possui 4 faces;
- Pentaedro, possui 5 faces;
- Hexaedro, possui 6 faces;
- Heptaedro, possui 7 faces;

E assim por diante!

Teorema de Euler-Exemplos resolvidos

Considero o teorema de Euler assim como o da soma dos ângulos, bem fáceis de memorizar e de aplicar na resolução de exercício.

No entanto, caso você tenha dificuldade em matemática é importante manter sempre a calma, ler sempre com atenção e principalmente entender o que cada exercício pede, para assim tirar o máximo de informações possível e chegar com tranquilidade no resultado desejado.

Então mãos a obra e vamos aos estudos!

O teorema de Euler, diz o seguinte a respeito de todo poliedro convexo:

A soma do números de vértices de um poliedro convexo com o número de faces é igual ao número de arestas aumentando de duas unidades.

E com isso chegamos na seguinte forma do Teorema de Euler:

V + F = A + 2
e
N = 2A

Onde:
V = número de vértices;
F = número de faces;
A = número de arestas;
N = número total de lados das fases separadamente.

Exercícios com teorema de Euler
Problema 01 - Qual o número de arestas de um poliedro convexo com 8 vértices e 6 faces?

Primeiro passo: Retirar os dados que o enunciado nos oferece, ou seja:

V = 8;
F = 6;
A = ? ;

Segundo passo: Substituir os valores na formula V + F = A + 2, assim temos:

8 + 6 = A + 2 => A = 14-2 => A = 12

Ou seja o número de arestas desse poliedro é 12!

Problema 02 - Qual o número de arestas de um poliedro convexo que possui 3 faces hexagonais ?

Para a solução desse exercício utilizamos a seguinte relação de Euler que diz que N = 2A , onde N = número total de lados das fases separadamente e A o número de arestas.

Assim temos:

3.6 = 2A => 2A=18 => A = 9

Teorema da soma dos ângulos-Exemplos resolvidos

Para realizar a soma(S) das medidas dos ângulos das faces de um poliedro convexo utilizamos a seguinte formula/relação:

S = 360°.(V-2)

Onde S é a soma das medidas dos ângulos e V o número de Vértices.

É muito importante saber e lembrar dessa fórmula da soma dos ângulos, afinal é com ela que em alguns exercícios podemos chegar a valores dos vértices, para assim poder aplicar o teorema de Euler que aprendemos anteriormente.

E afim de não deixar o conteúdo muito extenso, não vamos entrar em maiores detalhes a respeito de como chegar nessa relação, por isso vamos diretamente para a prática, pois é fazendo exercícios e treinando que aprendemos e fixamos o conteúdo.

Exercícios com teorema da soma dos ângulos
Problema 01 – Qual a quantidade de vértices de um poliedro convexo onde a soma das medidas das suas faces é 2880° ?

Como a formula da soma dos ângulos diz que S = 360°.(V-2), basta realizar as devidas substituições:

2880 = 360 . (V-2) => (V-2) = 2880/360 => V-2=8 => V=10

Ou seja, a quantidade de vértices desse poliedro é 10 !

Problema 02 – Qual a soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo de 8 vértices?

S = 360°.(V-2)

S = 360.(8-2) => 360.6 => 2160°

O resultado da soma dos ângulos desse poliedro convexo é 2160°.





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