Produto e soma dos termos de uma Progressão Geométrica

Como recentemente publicamos um artigo a respeito da formula geral de um P.G., nesta página vamos aprofundar um pouco mais o assunto, pois iremos apresentar as fórmula para a soma dos termos de uma P.G. limitada, ilimitada e decrescente e também a fórmula para calcular o produto de uma P.G

E para não estender muito esse artigo, vamos direto as formulas e as suas aplicações em exercícios.
– Soma dos termos P.G. limitada;
– Soma dos termos P.G. ilimitada;
– Produto dos termos;

Soma dos tempos de uma P.G. limitada(finita)

S_n = Soma dos termos
a₁ = Primeiro termo;
q = Razão(deve ser diferente de 1, uma vez que não existe divisão por zero)
n = número de termos;

Com essa formula em mãos, e na ponta da língua, vamos direto a exemplos para que você possa praticar e exercitar, e assim fixar ainda mais esse assunto.

• Exercício resolvido – Qual a soma dos 7 termos de uma PG crescente cujo primeiro termo vale 1 e a razão 2 ?

Como vemos o exercício nos fornece as seguintes informações:
a₁ = 1;
q = 2;
n = 7

Observação: Em alguns exercícios nem todos os dados são fornecidos, neste caso muitas vezes é necessário utilizar a fórmula geral da P.G. para encontrar as informações que faltam para que possamos utilizar essa formula da soma.

Agora é só jogar as informações na fórmula que vimos acima para ter a seguinte situação:

S_n = (1.(2⁷ -1)) / (2-1)
=>
S_n = (2⁷ -1) / 1

Como 2⁷ = 2.2.2.2.2.2.2 = 128

Então

S_n = 128-1
S_n = 127

Ou seja, a soma de termos dessa PG crescente é 127!

Soma dos tempos de uma P.G. ilimitada decrescente

Já quando tratamos de uma progressão geométrica decrescente e ilimitada utilizamos a formula ao lado.

• Exercício resolvido – Qual a soma dos termos de uma P.G decrescente e ilimitada que possui os valores 32, 16, 8 …
a₁ = 32

q = a₂/a₁ => 16/32 = 1/2 (lembre-se da definição de PG para calcular a razão).

q = 1/2

Agora aplicando na fórmula acima temos:

S_? = 32/(1/2) => 64

Ou seja S_? = 64

Produto dos termos de uma P.G. Finita

Assim como fizemos nos itens anteriores, vamos diretamente a formula, e não vamos aprofundar como chegar a mesma, e no caso do calculo do produto de uma PA, podemos utilizar duas formulas:

Vale lembrar!

– Produto positivo: Quando a P.G em questão não tiver termos negativos, ou então quando a quantidade de termos negativos for par.
– Produto negativo: Quando a quantidade de termos negativos for ímpar.

• Exercício resolvido – Qual o produto dos 5 primeiros termos de uma PG, cuja razão é 2 e o primeiro termo vale 1 e o 5° termo 16?

a₁ = 1;
q = 2
n = 5

Aplicando na fórmula temos:

É isso pessoal, espero que tenham gostado das explicações aqui deixadas, e que principalmente tenham entendido, e para melhor fixação do assunto o importante agora é praticar e fazer a maior quantidade de exercícios possíveis! Bons estudos!