Progressão aritmética introdução e problemas resolvidos

Trazemos neste artigo uma breve introdução a respeito do assunto e focamos ainda em exemplos e exercícios resolvidos sobre o tema.


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Neste artigo vamos tratar de um assunto muito importante para quem esta estudando matemática e deseja ter exito e sucesso na prova do ENEM ou no vestibular, que são as progressões aritméticas, ou simplesmente P.A.

E nesta página vamos tentar abordar esse assunto de forma bastante abrangente, com muita informação sobre o assunto e também alguns exercícios para que você possa fixar o que foi ensinado, desta forma vamos dividir essa aula nos seguintes tópicos:
pa-progressao-aritmeticaIntrodução/Definição;
Classificação e Formula da P.A.;
Exercícios de PA resolvidos;

Introdução/definição-PA

A progressão aritmética, é uma sucessão de números em que a diferença de cada número e seu precedente, a partir do segundo termo é sempre constante, desta forma essa diferença é chamada razão aritmética.

Assim lendo a definição da P.A. pela primeira vez, parece meio confuso e difícil, porém não é, vamos imaginar uma sequência genérica:

(a1, a2, a3, … an-1, an)

Nesta sequencia podemos observar que a2 – a1 = a3 – a2 = … = an – an-1 = R, onde R é a razão da progressão aritmética.

Ainda com dúvidas? Observe a sequencia abaixo:

(2, 5, 8, 11), essa sequencia é uma PA, onde a1 = 2, e R(Razão da PA) é 3, pois a4(11) – a3(8) = 3 e a3(8) – a2(5) = 3.

Lembrando que uma PA pode ser finita ou limitada, quando possuir uma sequencia de números finitas e infinita ou ilimitada quando tiver um número infinito de números.

Classificação e formula geral da progressão aritmética

O valor da razão de uma P.A. pode ser crescente, decrescente e estacionária, veja abaixo exemplos com cada um desses tipos:

– Razão crescente de uma PA:
Quando R > 0, exemplo: (2, 5, 8, 11) => Razão = 3;

– Razão decrescente de uma PA:
Quando R < 0, exemplo (9, 7, 5, 3) => Razão = -2;

– Razão estacionária de uma PA:
Quando R = 0, exemplo (3, 3, 3, 3) => Razão = 0;

Formula do termo geral
Considerando uma P.A de n números(a1, a2, a3, … an) pela definição temos que:

a2 – a1 = R => a2 = a1 + R
a3 – a2 = R
a3 = a2 + R => a3 = a1 + 2R
a4 = a3 + R => a4 = a1 + 3R.

Assim a fórmula da P.A. fica:

an = a1 + (n – 1) R

Para melhor entendimento e fixação dessa formula, vamos a um exemplo!

– Calcule o 6° termo da PA (2, 5, 8, 11, …)
Como temos a formula que diz an = a1 + (n – 1) R, basta realizar as substituições, onde:

a1 = 2; (primeiro termo)
R = 3; (razão da PA);
n = 6;

a6 = 2 + (6 – 1)3

a6 = 2 + 15;

a6 = 17;

Ou seja o 6° termo dessa PA vale 17;

E agora que você já esta sabendo um pouco mais sobre progressão aritmética, vamos a exercícios resolvidos, afinal é praticando que se aprende de verdade e fixa-se o assunto.

Exercícios de PA resolvidos passo a passo

Exercício 1 – Determine qual é o valor da razão de uma PA, cujo 1° termo vale 1 e o 4° termo vale 13.

Antes de mais nada vamos lembrar da formula da PA que diz:

an = a1 + (n – 1) R

Agora, vamos anotar os valores que o enunciado do exercício nos fornece, que são:

a1 = 1;
a4 = 13;
R = ? ; (O exercício pede que encontremos o valor da razão);

Vamos realizar as devidas substituições na formula!

13 = 1 + ( 4 -1 ) R
13 = 1 + 3R
3R = 13 -1
3R = 12;
R = 4;

Ou seja, o valor da razão para esse problema de PA vale 4!

Exercício 2 – Qual o valor do 100° termo de uma PA onde a1= 3 e R = 2 ?

an = a1 + (n – 1) R

a100 = 3 + (100-1)2;
a100 = 3 + 99.2;
a100 = 3 + 198;
a100 = 201;

Exercício 3 – Qual o valor do 9° termo de uma PA, cujo 3° é igual a 17 e o 8° 52 ?

Neste problema, temos uma situação um pouco diferente, pois como vemos não temos a razão e nem o valor do primeiro termo dessa PA, desta forma é importante lembrar de alguns detalhes e propriedades da PA, que vimos anteriormente, onde:

a2 – a1 = R => a2 = a1 + R
a3 – a2 = R
a3 = a2 + R => a3 = a1 + 2R
a4 = a3 + R => a4 = a1 + 3R.

Assim a8= a3 + 5R, como o exercício nos fornece os valores do 3° e 8° termos, basta substituir para encontramos a Razão e assim poderemos chegar ao valor do 9° termo!

Desta maneira a8= a3 + 5R, fica:

52 = 17 + 5R
5R = 52 – 17
5R = 35;
R = 7

Uma vez encontrada a razão, tudo fica mais simples, visto que:
a9 = a8 + R ;

Como sabemos o valor de a8 e R, basta realizar a substituição e efetuar a soma!

a9 = 52 + 7 ;

a9 = 59;

É isso pessoal! Espero que tenham gostado dessa aula de P.A. e que principalmente tenham entendido o assunto com os exercícios e exemplos resolvidos passo a passo.

Qualquer dúvida ou maiores informações, fiquem a vontade em enviar seus comentários! Bons estudo a todos!



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