Progressão Geométrica-Fórmula geral e exercícios

Como dias atrás aprendemos um pouco mais a respeito de progressões aritméticas, nesta página vamos aprender e saber um pouco mais a respeito das P.G.(Progressões Geométricas), e como de costume, vamos dividir o assunto em vários tópicos, para melhor entendimento e encontro das informações.
- Definição;
- Classificação;
- Fórmula do termo geral;
- Exercícios resolvidos;

Definição de Progressão Geométrica

Em qualquer disciplina, ou novo assunto, é fundamental antes de iniciar a parte prática saber um pouco da parte teórica e das definições, pois isso ajuda a fixar e entender melhor o que esta sendo estudado.

E uma progressão geométrica, também chamada simplesmente de P.G., é uma sequência numérica de termos não nulos, em que o resultado da divisão de cada termo e seu precedente a partir do segundo é sempre constante.

O resultado dessa divisão(quociente), é a razão da P.G., que é representada pela letra q.

Exemplo:
Temos a seguinte P.G. (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256)

Nela podemos observar que o primeiro elemento(a₁)) é igual a 1 e a razão/quociente(q) vale 2.

Para chegar ao valor da razão basta lembrar da definição que diz que o resultado da divisão do seu precedente, a partir do segundo termo é constante, neste caso se pegarmos a₃=8 e dividirmos por a₂ = 4 temos o valor da razão que é 2.

Sendo que o mesmo acontece se realizarmos a operação utilizando o a₅=16 e dividindo pelo seu antecessor a₄ = 8, teremos novamente o valor de 2, por isso observa-se que nessa P.G. a sua razão é 2.

Lembrando que assim como na P.A, existem P.G finitas/limitadas(número de termos finitos), e também P.G infinita/ilimitada(número de termos infinitos).

Classificações das P.G.

Agora que você já esta sabendo um pouco mais a respeito da definição de uma PG, vamos para a suas classificações, que podem ser crescentes, decrescentes, oscilantes e estacionárias, na sequencia trazemos exemplos de cada uma dessas classificações para melhor entendimento.

• P.G. Crescente

É dito que uma P.G. é crescente quando o primeiro termo é maior que zero e a sua razão(q) é maior que 1, ou seja:

a₁ > 0 e q > 1

Exemplo 01 de P.G Crescente: (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256)
Nela observamos que a₁=1 , ou seja, maior que 0 e q=2 ou seja, maior que 1.

Uma P.G. também é dita crescente quando o primeiro elemento for menos que zero e a razão(q) for maior que zero e menor que 1, ou seja:

a₁ < 0 e 0 < q < 1

Verifique no exemplo abaixo quando isso acontece.

Exemplo 02 de P.G Crescente:(-64, -32, -16, -8, -4, -2, -1)
Vemos que a₁ = -64 e q = 1/2

• P.G. Decrescente
Assim como no caso de uma P.G. crescente, nas P.G.’s decrescentes temos duas situações em que elas acontecem, que vamos demostrar a seguir:

- Uma P.G é dita decrescente quando o primeiro termo for maior que 0 e a razão for maior que 0 e menor que 1, ou seja:

a₁ > 0 e 0 < q < 1

temos uma P.G decrescente.

Exemplo 01 de P.G Decrescente: (120, 60, 30, 15)
a₁ = 120 e q = 1/2.

- Uma P.G. ainda é chamada de decrescente quando o primeiro termo for menor que 0 e quando a razão(q) for maior que 1, ou seja, quando:

a₁ < 0 e q > 1

também temos uma PG decrescente.

Exemplo 02 de P.G Decrescente: (-1, -2, -4, -8)
Observe que no exemplo acima temos a₁ = -1 e q = 2.

• P.G. Oscilante
Uma P.G. é do tipo Oscilante quando a sua razão(q) é menos que zero.

q < 0

Confira o exemplo abaixo para melhor entendimento.

- Exemplo de uma P.G. Oscilante (4, -8, 16, -32)
Neste exemplo a razão q = -2

• P.G. Estacionária
É dito que determinada P.G é estacionária quando a sua razão(q) é igual a 1, ou seja, q=1.

- Exemplo de P.G. estacionária(5,5,5,5,5)

Fórmula do termo geral de uma P.G.

Neste tópico não vamos entrar em maiores detalhes a respeito de como é chego na formula do termo geral de um P.G. por isso vamos direto exibir a formula e explicar cada um dos elementos.

Formula P.G

a_n = a₁ . q^{n – 1}
Onde:
a₁ = Primeiro termo da P.G;
a_n = Último termo da P.G.
q = razão;
n = número de termos;

- Exemplo: Qual o valor do primeiro termo de uma PG com 9 termos, cuja razão seja 2 e onde o último termo vale 256 ?

a₁ = ? é o que buscamos;
a_n = 256;
n = 9;
q = 2;

Com esses valores agora basta substituir na formula de PG que diz:

a_n = a₁ . q^{n – 1}

Assim temos:

256 = a₁ . 2^{9 – 1}
=>
256 = a₁ . 2⁸
=>
256 = a₁ . 256
=>
a₁ = 256/256
=>
a₁ = 1

Ou seja, o primeiro termo(a₁) dessa P.G. vale 1 .

Exercícios de P.G. Resolvidos passo a passo

Agora que já sabemos um pouco mais da teoria, vamos a prática, afinal é praticando e treinando que chegamos a perfeição e fixamos o conteúdo que acabamos de aprender, por isso vamos trazer alguns exercícios de PG resolvidos passo a passo para seu melhor entendimento.

• Exercício de P.G. 01 – Qual a quantidade de termos de uma PG cuja razão é 3, e o primeiro termo vale 1, e o último termo vale 81?

O primeiro passo é sempre tirar os valores que o enunciado da questão nos trás, nesse caso ele nos dá os seguintes valores:
a₁ = 1 ;
a_n = 81 ;
q = 3 ;

E deseja saber qual o valor de n;

Como sabemos a formula:

a_n = a₁ . q^{n – 1}

Fazendo as substituições temos:
81 = 1 . 3 ^{n – 1}
=>
3^{n – 1} = 3 ⁴
=>
n-1 = 4
n = 5

Ou seja, a quantidade de termos dessa PG é 5!

Para quem não entendeu porque e como “cortamos o 3″, recomendo a leitura do artigo a respeito das equações elementares.

• Exercício de P.G. 02 – Qual o primeiro termo de uma PG com 8 termos, onde o último vale -1 e a razão 1/2 ?

a₁ = ? ;
a_n = -1 ;
n = 8;
q = 1/2;

a_n = a₁ . q^{n – 1}

-1 = a₁ . 1/2^{8 – 1}
=>
-1 = a₁ . 1/2⁷
=>
-1 = a₁. 1/128
=>
a₁ = -128

O primeiro termo dessa P.G. vale -128, e como podemos observar trata-se de uma P.G. do tipo decrescente.