Progressão Geométrica-Fórmula geral e exercícios

Saber e entender progressão geométrica é fundamental para quem deseja ser aprovado no vestibular e ir tirar uma boa nota em matemática na prova do ENEM.
Como dias atrás aprendemos um pouco mais a respeito de progressões aritméticas, nesta página vamos aprender e saber um pouco mais a respeito das P.G.(Progressões Geométricas), e como de costume, vamos dividir o assunto em vários tópicos, para melhor entendimento e encontro das informações.
– Definição;
– Classificação;
– Fórmula do termo geral;
– Exercícios resolvidos;
Definição de Progressão Geométrica
Em qualquer disciplina, ou novo assunto, é fundamental antes de iniciar a parte prática saber um pouco da parte teórica e das definições, pois isso ajuda a fixar e entender melhor o que esta sendo estudado.
E uma progressão geométrica, também chamada simplesmente de P.G., é uma sequência numérica de termos não nulos, em que o resultado da divisão de cada termo e seu precedente a partir do segundo é sempre constante.
O resultado dessa divisão(quociente), é a razão da P.G., que é representada pela letra q.
Exemplo:
Temos a seguinte P.G. (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256)
Nela podemos observar que o primeiro elemento(a1)) é igual a 1 e a razão/quociente(q) vale 2.
Para chegar ao valor da razão basta lembrar da definição que diz que o resultado da divisão do seu precedente, a partir do segundo termo é constante, neste caso se pegarmos a3=8 e dividirmos por a2 = 4 temos o valor da razão que é 2.
Sendo que o mesmo acontece se realizarmos a operação utilizando o a5=16 e dividindo pelo seu antecessor a4 = 8, teremos novamente o valor de 2, por isso observa-se que nessa P.G. a sua razão é 2.
Lembrando que assim como na P.A, existem P.G finitas/limitadas(número de termos finitos), e também P.G infinita/ilimitada(número de termos infinitos).
Classificações das P.G.
Agora que você já esta sabendo um pouco mais a respeito da definição de uma PG, vamos para a suas classificações, que podem ser crescentes, decrescentes, oscilantes e estacionárias, na sequencia trazemos exemplos de cada uma dessas classificações para melhor entendimento.
• P.G. Crescente
É dito que uma P.G. é crescente quando o primeiro termo é maior que zero e a sua razão(q) é maior que 1, ou seja:
a1 > 0 e q > 1
Exemplo 01 de P.G Crescente: (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256)
Nela observamos que a1=1 , ou seja, maior que 0 e q=2 ou seja, maior que 1.
Uma P.G. também é dita crescente quando o primeiro elemento for menos que zero e a razão(q) for maior que zero e menor que 1, ou seja:
a1 < 0 e 0 < q < 1
Verifique no exemplo abaixo quando isso acontece.
Exemplo 02 de P.G Crescente:(-64, -32, -16, -8, -4, -2, -1)
Vemos que a1 = -64 e q = 1/2
• P.G. Decrescente
Assim como no caso de uma P.G. crescente, nas P.G.’s decrescentes temos duas situações em que elas acontecem, que vamos demostrar a seguir:
– Uma P.G é dita decrescente quando o primeiro termo for maior que 0 e a razão for maior que 0 e menor que 1, ou seja:
a1 > 0 e 0 < q < 1
temos uma P.G decrescente.
Exemplo 01 de P.G Decrescente: (120, 60, 30, 15)
a1 = 120 e q = 1/2.– Uma P.G. ainda é chamada de decrescente quando o primeiro termo for menor que 0 e quando a razão(q) for maior que 1, ou seja, quando:
a1 < 0 e q > 1
também temos uma PG decrescente.
Exemplo 02 de P.G Decrescente: (-1, -2, -4, -8)
Observe que no exemplo acima temos a1 = -1 e q = 2.
• P.G. Oscilante
Uma P.G. é do tipo Oscilante quando a sua razão(q) é menos que zero.
q < 0
Confira o exemplo abaixo para melhor entendimento.
– Exemplo de uma P.G. Oscilante (4, -8, 16, -32)
Neste exemplo a razão q = -2
• P.G. Estacionária
É dito que determinada P.G é estacionária quando a sua razão(q) é igual a 1, ou seja, q=1.
– Exemplo de P.G. estacionária(5,5,5,5,5)
Fórmula do termo geral de uma P.G.
Neste tópico não vamos entrar em maiores detalhes a respeito de como é chego na formula do termo geral de um P.G. por isso vamos direto exibir a formula e explicar cada um dos elementos.
Formula P.G
an = a1 . qn – 1
Onde:
a1 = Primeiro termo da P.G;
an = Último termo da P.G.
q = razão;
n = número de termos;
– Exemplo: Qual o valor do primeiro termo de uma PG com 9 termos, cuja razão seja 2 e onde o último termo vale 256 ?
a1 = ? é o que buscamos;
an = 256;
n = 9;
q = 2;Com esses valores agora basta substituir na formula de PG que diz:
an = a1 . qn – 1
Assim temos:
256 = a1 . 29 – 1
=>
256 = a1 . 28
=>
256 = a1 . 256
=>
a1 = 256/256
=>
a1 = 1
Ou seja, o primeiro termo(a1) dessa P.G. vale 1 .
Exercícios de P.G. Resolvidos passo a passo
Agora que já sabemos um pouco mais da teoria, vamos a prática, afinal é praticando e treinando que chegamos a perfeição e fixamos o conteúdo que acabamos de aprender, por isso vamos trazer alguns exercícios de PG resolvidos passo a passo para seu melhor entendimento.
• Exercício de P.G. 01 – Qual a quantidade de termos de uma PG cuja razão é 3, e o primeiro termo vale 1, e o último termo vale 81?
O primeiro passo é sempre tirar os valores que o enunciado da questão nos trás, nesse caso ele nos dá os seguintes valores:
a1 = 1 ;
an = 81 ;
q = 3 ;E deseja saber qual o valor de n;
Como sabemos a formula:
an = a1 . qn – 1
Fazendo as substituições temos:
81 = 1 . 3 n – 1
=>
3n – 1 =34
=>
n-1 = 4
n = 5
Ou seja, a quantidade de termos dessa PG é 5!
Para quem não entendeu porque e como “cortamos o 3”, recomendo a leitura do artigo a respeito das equações elementares.
• Exercício de P.G. 02 – Qual o primeiro termo de uma PG com 8 termos, onde o último vale -1 e a razão 1/2 ?
a1 = ? ;
an = -1 ;
n = 8;
q = 1/2;an = a1 . qn – 1
-1 = a1 . 1/28 – 1
=>
-1 = a1 . 1/27
=>
-1 = a1. 1/128
=>
a1 = -128
O primeiro termo dessa P.G. vale -128, e como podemos observar trata-se de uma P.G. do tipo decrescente.
Navegue:
Muito bom esta mim ajudando bastante .comtinuem fazendo esse trabalhar por que é muito inportanr
Te para nós que vamos presta concursos ou vestibular.
Esta pagina é excelente, e ajuda-me o bastante! :-)
E IMPORTANTE Saber e entender progressão geométrica ela e fundamental para quem quer tirar ótimas notas em uma prova de ENEM
PERFEITO! Ameeei !
Muito boa a página
Me deu bastante entendimento sobre oh assunto abordado
Parabéns pelo trabalho, além de ser uma grande ajuda, está sendo de ótimo agrado. Continuem com esse trabalho, pois, como eu, todos estão gostando.
ÓTIMO !!!!!! Parabéns !!!! Estou estudando pro enem procurei em todo tipo de site e nenhum se dedicava tanto a explicar como esse parabéns amei super Recomendo!!!
como resolvo passo a passo o exercicio
cacule o nono termo da P.G.(81,27,9,3,……..)