Logaritmos definição propriedades e exemplos resolvidos

Os logaritmos surgiram a mais de 4 séculos atrás, e o seu inventor foi o escocês Jonh Napier, e com a invenção dos logaritmos cálculos antes muito complexos e demorados para serem resolvidos ficaram mais simples, especialmente na Astronomia.

Atualmente os logaritmos são utilizados em diversos em inúmeras áreas e setores, desde cálculos em projetos de engenharia civil a operações bancárias.

E para você que deseja aprender mais sobre o assunto, ou esta iniciando seus estudos sobre logaritmos, trazemos neste artigo um apanhado geral e bem resumido, inclusive com exercícios resolvidos que com certeza irão ajudar a fixar o assunto.

– Definição e consequências;
– Base decimal e neperiana(natural);
– Exemplos de exercícios resolvidos parte 1;
– Propriedades;
– Cologaritmo;
– Exemplos de exercícios aplicando propriedades;
– Explicações e exemplos em vídeo aula;

Logaritmos: Definição e consequências

Definição: Logaritmo de um número B, real e positivo, em uma base a, positiva e diferente da unidade, é o expoente x, ao qual se eleva a base para obter-se uma potência igual ao número B.
log^B_a = x

Onde:

B = Logaritmando ou antilogaritmo
a = Base
x = logaritmo

log^B_a = x <=> a^x = B

Sendo:
B > 0 ;
a ? 1 ;
a > 0 ;

Para facilitar o entendimento no momento de realizar um exercício, basta lembrar dessa ilustração:

Consequências:
1°) log_a 1 = 0

2°) log_a a = 1

3°) log_a aⁿ = n

4°) a ^log_ab = b

5°) log_a b = log_a c <=> b = c

Antilogaritmo:
a^x = B <=> antilog_a x = B

Logaritmo decimal e neperiano

É importante lembrar sempre que existem duas bases particulares dos logaritmos, sendo que uma é a base decimal, base 10, e a outra a base neperiana(ou natural), base e, onde e = 2,71…..

– Base decimal(base 10):
log₁₀^A ou log ^A

– Base neperiana ou natural(base e):
log_e^A ou ln A ou LA

Exercícios/exemplos parte 1

Para ajudar a fixar a teoria que foi explicada acima, vamos praticar um pouco, e para isso nada melhor que resolver alguns exercícios, e para ajudar você em seus estudos vamos resolve-los passo a passo:

– Qual o valor de log₂ 16 ?
Como vimos, log^B_a = x <=> a^x = B

então:

log₂ 16 = x

é igual a:

2^x = 16

Como você já aprendeu em equação elementar, agora basta decompor as potências em bases iguais, eliminar as bases e igualar os expoentes.

Assim temos:

2^x = 2⁴ => x = 4

– Qual o valor de log₇ 1 ?
Para essa situação, basta lembrar da “primeira consequência” que diz: log_a 1 = 0

Ou seja, a resposta para esse exercício é 0.

Mas caso queira resolver aplicando a definição, temos:

log₇ 1 = x

7^x = 1

Neste caso, lembramos que qualquer número elevado a zero, resulta em 1, logo x = 0

– Qual o valor da base de log_a 27 = 3
Como sabemos que log^B_a = x <=> a^x = B

Então:

a³ = 27 => a = 3

– Qual o valor de antilog₂3 ?

Como vimos na definição que: antilog_a x = B é igual a a^x = B

Logo: 2³ = B ou seja, B = 8, sendo 8 a solução para esse problema.

– O logaritmo na base 10, de um número acrescido de 5, é igual a 1, calcule esse número.

log₁₀(N+5) = 1

Aplicando as definições de logaritmos novamente temos:

N+5 = 10¹
N = 10 – 5;
N = 5

Propriedades dos logaritmos

Agora vamos entrar em um ponto bem importante do estudo dos logaritmos, que são as suas propriedades, pois sabendo e lembrando delas podemos resolver de forma muito mais simplificadas problemas complexos que envolvem os logaritmos.

– Logaritmo de produto
log_a(b.c) = log_a b + log_a c

Dica: Basta lembrar que sempre que existir uma multiplicação, você pode “desmembrar” em dois logaritmos, realizando a soma de ambos.

– Logaritmo de quociente
log_a b/c = log_ab – log_ac

Dica:Quando existir uma divisão, “desmembre” em dois logaritmos, realizando a subtração dos mesmo. Ou seja, para não confundir, quando existe a multiplicação “desmembra” e soma, quando existe a divisão, “desmembra” e divide.

– Logaritmo de potência
log_abⁿ = n.log_ab

– Logaritmo de raiz
log_a ⁿ?b = log_ab^1/n = 1/n . log_ab

Cologaritmo

Define-se cologaritmo de um número como o logaritmo do inverso do número em questão.

Desta forma:
colog B = log 1/B

colog B = – log B

Exemplos de exercícios aplicando propriedades

Nesta segunda parte de exercícios, vamos aplicar as propriedades dos logaritmos que aprendemos nos tópicos anteriores, e como já comentado anteriormente, é sempre muito importante buscar exercícios para resolver e treinar, somente assim você fixa todo esse conteúdo.

– Aplique as propriedades de logaritmos nos exercícios abaixo:

1) log(a⁵.b³⁾
Como sabemos que:

log_a(b.c) = log_a b + log_a c

e

log_abⁿ = n.log_ab

Primeiramente aplicamos a propriedade do produto:

log(a⁵.b³) = log a ⁵ + log b ³

Agora da potência:

log a⁵ + log b⁵ = 5 log a + 3 log b

Ou seja

Solução: log(a⁵.b³) = 5 log a + 3 log b

2) log a⁴/b²
Como aprendemos na definição das propriedade que:

log_a b/c = log_ab – log_ac

Então

log a⁴/b² = log a⁴ – log b²

Aplicando a propriedade da potência, temos que:
log a⁴ – log b² = 4 log a – 2 log b

ou seja

Solução: log a⁴/b² = 4 log a – 2 log b

Explicações e exemplos em vídeo

E para quem ainda possui alguma dúvida ou dificuldade sobre o assunto, trazemos abaixo um vídeo com um breve resumo sobre as definições de logaritmos e a resoluções de dois exemplos passo a passo.

É isso, espero que tenham gostado, e principalmente entendido o assunto, que é de fundamental importante para provas e exames de vestibular e Enem, bons estudos a todos!